Équations différentielles

Soit $a\in \mathbb{R}$. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de $y^{\prime }(x)=ay(x)$ sont exactement les fonctions :

$y^{\prime }=3y$ avec $y(0)=2$ : $y(x)=2e^{3x}$.

Pour $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ et $b\in \mathbb{R}$, les solutions de $y^{\prime }=ay+b$ sont :

$y^{\prime }=-2y+6$, $y(0)=1$. Solutions $y=C{e}^{-2x}+3$. $y(0)=C+3=1$, donc $C=-2$. $y(x)=-2e^{-2x}+3$.

Pour $\omega >0$, les solutions sur $\mathbb{R}$ de $y^{\prime \prime }+{\omega }^{2}y=0$ sont :

Équivalemment : $y(x)=R\cos (\omega x-\phi )$ avec $R=\sqrt{A^2+B^2}$.

$y^{\prime \prime }+4y=0$ avec $y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$. Solutions $y=A\cos (2x)+B\sin (2x)$. $y(0)=A=1$, $y^{\prime }(0)=2B=0$, donc $B=0$. $y(x)=\cos (2x)$.

Modèle de refroidissement. Une tasse de café à $80^{\circ }$C refroidit dans une pièce à $20^{\circ }$C. On suppose $T^{\prime }=-0,1(T-20)$. À $t=0$, $T=80$. Solutions : $T(t)=C{e}^{-0,1t}+20$, $T(0)=C+20=80$, $C=60$. $T(t)=60e^{-0,1t}+20$. Après $t=10$ min : $T=60e^{-1}+20\approx 42^{\circ }$C.