MATHEMATICS · 1ère Bac Sciences Expérimentales · 1ère Bac

Notions de logique

Propositions, connecteurs, quantificateurs, modes de raisonnement en mathématiques.

مبادئ في المنطق : العبارات والروابط المنطقية والمكممات وأنماط الاستدلال المستعملة في الرياضيات.

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Propositions et valeurs de vérité

Les mathématiques reposent sur un langage précis : les propositions. Comprendre comment on les combine et comment on les démontre est la base de tout le reste du programme.

Définition : Proposition mathématique

Une proposition est un énoncé dont on peut dire, sans ambiguïté, qu'il est vrai (V) ou qu'il est faux (F). Une proposition ne peut pas être « un peu vraie ». Sa valeur de vérité est V ou F, et jamais les deux.

Exemple

« $5$ est un entier naturel » est une proposition vraie.
« Tout entier pair est divisible par $4$ » est une proposition fausse (contre-exemple : $6$ ).
« Que la paix soit avec toi » n'est pas une proposition : ce n'est ni vrai ni faux.

Connecteurs logiques

À partir de propositions $P$ et $Q$ , on en forme de nouvelles en les combinant avec des connecteurs.

Définition : Les cinq connecteurs

Négation « non $P$ », notée $\neg P$ : vraie lorsque $P$ est fausse, et réciproquement.
Conjonction « $P$ et $Q$ », notée $P \land Q$ : vraie lorsque $P$ et $Q$ sont simultanément vraies.
Disjonction « $P$ ou $Q$ », notée $P \lor Q$ : vraie dès que $P$ ou $Q$ est vraie (ou les deux).
Implication « $P \Rightarrow Q$ » : fausse uniquement lorsque $P$ est vraie et $Q$ fausse.
Équivalence « $P \Leftrightarrow Q$ » : vraie lorsque $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité.

Propriété : Tables de vérité

La valeur de vérité d'une composée se lit dans un tableau :

$P$	$Q$	$P \land Q$	$P \lor Q$	$P \Rightarrow Q$
V	V	V	V	V
V	F	F	V	F
F	V	F	V	V
F	F	F	F	V

Exemple

Soit $P$ : « $5 \geq 3$ » et $Q$ : « $5$ est pair ». $P$ est V, $Q$ est F.

$P \land Q$ est F.
$P \lor Q$ est V.
$P \Rightarrow Q$ est F (V implique F est le seul cas faux).
$Q \Rightarrow P$ est V (F implique quoi que ce soit est toujours V).

Propriété : Lois de De Morgan

Pour toutes propositions $P, Q$ :

\neg (P \land Q) \Leftrightarrow (\neg P) \lor (\neg Q), \neg (P \lor Q) \Leftrightarrow (\neg P) \land (\neg Q) .

Quantificateurs

Beaucoup d'énoncés mathématiques portent sur des objets « pour tout » ou « il existe ».

Définition : Quantificateur universel

Le quantificateur universel « pour tout », noté $\forall$ , signifie « quel que soit ». L'énoncé « $\forall x \in E, P (x)$ » veut dire : tout élément $x$ de l'ensemble $E$ vérifie la propriété $P$ .

Définition : Quantificateur existentiel

Le quantificateur existentiel « il existe », noté $\exists$ , signifie « au moins un ». L'énoncé « $\exists x \in E, P (x)$ » veut dire : on peut trouver (au moins) un élément $x$ de $E$ tel que $P (x)$ soit vraie.

Exemple

$\forall n \in N, n^{2} \geq 0$ : vrai.
$\exists x \in R, x^{2} = 2$ : vrai (par exemple $x = 2$ ).
$\forall x \in R, x^{2} > 0$ : faux ( $x = 0$ donne $x^{2} = 0$ ).

Propriété : Négation des quantificateurs

\neg (\forall x \in E, P (x)) \Leftrightarrow \exists x \in E, \neg P (x) .

\neg (\exists x \in E, P (x)) \Leftrightarrow \forall x \in E, \neg P (x) .

En mots : pour nier un « pour tout », on exhibe un contre-exemple ; pour nier un « il existe », on montre que la propriété échoue partout.

Exemple

Négation de « $\forall n \in N, n$ est premier » : « $\exists n \in N, n$ n'est pas premier ». Par exemple $n = 4$ convient.

Modes de raisonnement

Trois raisonnements couvrent la quasi-totalité des démonstrations au lycée.

Raisonnement direct

Pour démontrer $P \Rightarrow Q$ : supposer $P$ vraie, et en déduire $Q$ par une chaîne d'implications.

Exemple

Si $n$ est pair alors $n^{2}$ est pair.

Démonstration. Supposons $n$ pair. Il existe $k \in Z$ tel que $n = 2 k$ . Alors $n^{2} = (2 k)^{2} = 4 k^{2} = 2 (2 k^{2})$ . Donc $n^{2}$ s'écrit comme deux fois un entier, il est pair.

Raisonnement par contraposée

Pour démontrer $P \Rightarrow Q$ , on démontre sa contraposée $(\neg Q) \Rightarrow (\neg P)$ . Les deux formulations sont logiquement équivalentes et l'une est parfois plus facile à prouver.

Exemple

Montrons : « si $n^{2}$ est pair alors $n$ est pair ».

Par contraposée : supposons $n$ impair. Alors $n = 2 k + 1$ et $n^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1 = 2 (2 k^{2} + 2 k) + 1$ , qui est impair. On vient de démontrer $n$ impair $\Rightarrow n^{2}$ impair, c'est-à-dire la contraposée.

Raisonnement par l'absurde

Pour démontrer $P$ , on suppose $\neg P$ et on en déduit une contradiction (par exemple « $0 = 1$ »). Comme la supposition mène à une absurdité, elle est fausse, donc $P$ est vraie.

Exemple

Démontrons : « $2$ n'est pas un rationnel ».

Supposons par l'absurde $2 = \frac{p}{q}$ avec $p, q$ entiers premiers entre eux et $q \neq = 0$ . Alors $p^{2} = 2 q^{2}$ , donc $p^{2}$ est pair, donc $p$ l'est. Posant $p = 2 k$ , on obtient $q^{2} = 2 k^{2}$ , donc $q$ pair. Mais alors $p$ et $q$ sont tous deux pairs, ce qui contredit l'hypothèse qu'ils sont premiers entre eux. Donc $2 \in / Q$ .

Raisonnement par contre-exemple

Pour réfuter un énoncé universel « $\forall x \in E, P (x)$ », il suffit d'exhiber un seul $x_{0} \in E$ tel que $P (x_{0})$ soit fausse.

Exemple

L'énoncé « tout entier impair est premier » est faux. Contre-exemple : $9 = 3 \times 3$ est impair mais pas premier.

Raisonnement par disjonction de cas

Pour démontrer une propriété sur tous les éléments d'un ensemble $E$ , on peut partitionner $E$ en sous-cas disjoints et traiter chaque cas séparément.

Exemple

Montrons : pour tout entier $n$ , $n (n + 1)$ est pair.

Disjonction sur la parité de $n$ .

Si $n$ est pair, $n = 2 k$ , alors $n (n + 1) = 2 k (n + 1)$ est pair.
Si $n$ est impair, $n + 1$ est pair, donc $n (n + 1)$ est pair.

Dans tous les cas, $n (n + 1)$ est pair.

Équivalence et implication réciproque

L'implication $P \Rightarrow Q$ et sa réciproque $Q \Rightarrow P$ sont deux propositions distinctes. $P \Leftrightarrow Q$ signifie que les deux tiennent simultanément.

Exemple

« Si $x = 2$ alors $x^{2} = 4$ » est vraie.
Sa réciproque « si $x^{2} = 4$ alors $x = 2$ » est fausse ( $x = - 2$ donne aussi $x^{2} = 4$ ).

Donc l'équivalence « $x = 2 \Leftrightarrow x^{2} = 4$ » est fausse.

Démontrer une équivalence demande deux implications : $P \Rightarrow Q$ et $Q \Rightarrow P$ .

Exercices type contrôle corrigés

5 exercices dans l'esprit des sujets de contrôle, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

Quantificateurs et négation
Pour chaque proposition, donner sa valeur de vérité en justifiant, puis écrire sa négation :
1. $\forall x \in R, x^{2} - 2 x + 2 > 0$ ;
2. $\exists x \in R, \forall y \in R, x \leq y$ ;
3. $\forall x \in R, \exists y \in R, x^{2} + y^{2} = 1$ .
Voir la correction
1. Vraie : $x^{2} - 2 x + 2 = (x - 1)^{2} + 1 \geq 1 > 0$ . Négation : $\exists x \in R, x^{2} - 2 x + 2 \leq 0$ .
2. Fausse : pour tout réel $x$ , $y = x - 1$ vérifie $y < x$ ; aucun réel n'est inférieur à tous les autres. Négation : $\forall x \in R, \exists y \in R, y < x$ .
3. Fausse : pour $x = 2$ , $x^{2} + y^{2} = 4 + y^{2} \geq 4 > 1$ quel que soit $y$ . Négation : $\exists x \in R, \forall y \in R, x^{2} + y^{2} \neq = 1$ .
Table de vérité
Soient $P$ et $Q$ deux propositions. Démontrer à l'aide d'une table de vérité que $((P \Rightarrow Q) \land (P \Rightarrow \neg Q)) \Leftrightarrow \neg P$ .
Voir la correction
$P$ $Q$ $P \Rightarrow Q$ $P \Rightarrow \neg Q$ $(P \Rightarrow Q) \land (P \Rightarrow \neg Q)$ $\neg P$
V V V F F F
V F F V F F
F V V V V V
F F V V V V
Les deux dernières colonnes coïncident : l'équivalence est démontrée. (Interprétation : si $P$ entraîne à la fois $Q$ et son contraire, c'est que $P$ est fausse.)
Contraposée
Soit $x$ un réel. Démontrer par contraposée : « si $x^{2}$ est irrationnel, alors $x$ est irrationnel ». La réciproque est-elle vraie ?
Voir la correction
Contraposée : « si $x$ est rationnel, alors $x^{2}$ est rationnel ». Si $x = \frac{p}{q}$ avec $p \in Z$ , $q \in N^{*}$ , alors $x^{2} = \frac{p ^{2}}{q ^{2}}$ avec $p^{2} \in Z$ et $q^{2} \in N^{*}$ : $x^{2}$ est rationnel. La contraposée est vraie, donc l'implication aussi. La réciproque « si $x$ est irrationnel alors $x^{2}$ est irrationnel » est fausse : $x = 2$ est irrationnel et $x^{2} = 2$ est rationnel.
Raisonnement par l'absurde
1. Démontrer que $6$ est irrationnel.
2. En déduire que $2 + 3$ est irrationnel.
Voir la correction
1. Supposons $6 = \frac{p}{q}$ avec $p, q \in N^{*}$ premiers entre eux. Alors $p^{2} = 6 q^{2}$ est pair, donc $p$ est pair : $p = 2 k$ . Alors $4 k^{2} = 6 q^{2}$ , soit $2 k^{2} = 3 q^{2}$ : $3 q^{2}$ est pair, donc $q^{2}$ puis $q$ sont pairs. $p$ et $q$ seraient tous deux pairs : contradiction.
2. Si $r = 2 + 3$ était rationnel, $r^{2} = 5 + 26$ le serait aussi, et $6 = \frac{r ^{2} - 5}{2}$ serait rationnel : contradiction avec la question 1.
Disjonction de cas et équivalence
1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ , le nombre $n (n^{2} + 2)$ est divisible par $3$ .
2. Soit $x \in R$ . Démontrer l'équivalence $x^{2} + x = 0 \Leftrightarrow (x = 0 ou x = - 1)$ .
Voir la correction
1. Tout entier $n$ s'écrit $3 k$ , $3 k + 1$ ou $3 k + 2$ .
- $n = 3 k$ : $3$ divise $n$ .
- $n = 3 k + 1$ : $n^{2} + 2 = 9 k^{2} + 6 k + 3 = 3 (3 k^{2} + 2 k + 1)$ .
- $n = 3 k + 2$ : $n^{2} + 2 = 9 k^{2} + 12 k + 6 = 3 (3 k^{2} + 4 k + 2)$ . Dans chaque cas l'un des facteurs est multiple de $3$ , donc le produit aussi.
1. $x^{2} + x = x (x + 1)$ et un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : $x^{2} + x = 0 \Leftrightarrow x = 0 ou x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 0 ou x = - 1$ . Les deux implications sont contenues dans cette chaîne d'équivalences.

$P$	$Q$	$P \Rightarrow Q$	$P \Rightarrow \neg Q$	$(P \Rightarrow Q) \land (P \Rightarrow \neg Q)$	$\neg P$
V	V	V	F	F	F
V	F	F	V	F	F
F	V	V	V	V	V
F	F	V	V	V	V

Documents

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Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

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0/10 répondues

1.
Lequel de ces énoncés est une proposition mathématique ?
2.
Soit $P$ : « $5 \geq 3$ » et $Q$ : « $5$ est pair ». Laquelle de ces propositions est vraie ?
3.
L'implication $P \Rightarrow Q$ est fausse uniquement lorsque :
4.
D'après les lois de De Morgan, la négation de $P \land Q$ est :
5.
La négation de « $\forall x \in R, x^{2} > 0$ » est :
6.
Laquelle de ces propositions est fausse ?
7.
La contraposée de « si $n^{2}$ est pair alors $n$ est pair » est :
8.
Pour démontrer une proposition $P$ par l'absurde :
9.
Quel entier est un contre-exemple à l'énoncé « tout entier impair est premier » ?
10.
L'équivalence « $x = 2 \Leftrightarrow x^{2} = 4$ » est fausse car :

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01Quantificateurs et négation

02Table de vérité

03Contraposée

04Raisonnement par l'absurde

05Disjonction de cas et équivalence

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