MATHEMATICS · 1ère Bac Sciences Expérimentales · 1ère Bac

Les limites d'une fonction numérique

Limite en un point et à l'infini, opérations, formes indéterminées, asymptotes.

نهايات دالة عددية : نهاية دالة في نقطة وعند ما لانهاية، العمليات على النهايات، الأشكال غير المحددة، المقاربات.

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Limite en un point, limite à l'infini

Figure interactive : limite finie en un point

x2,8f(x) ≈ 3,8

f(x) = (x² − 1)/(x − 1) n’est pas définie en 1, mais quand x se rapproche de 1, f(x) se rapproche de 2 : on dit que la limite de f en 1 vaut 2.

Définition : Limite en un réel

a

(idée intuitive)

On dit que $f$ a pour limite $ℓ \in R$ quand $x$ tend vers $a$ , noté $lim_{x \to a} f (x) = ℓ$ , si $f (x)$ « se rapproche » de $ℓ$ quand $x$ se rapproche de $a$ (sans y être forcément égal).

Définition : Limite infinie

$lim_{x \to a} f (x) = + \infty$ signifie que $f (x)$ peut être rendu plus grand que toute borne prescrite en prenant $x$ suffisamment proche de $a$ . Idem pour $- \infty$ .

Définition : Limite en l'infini

$lim_{x \to + \infty} f (x) = ℓ$ : $f (x)$ s'approche de $ℓ$ quand $x$ croît indéfiniment. Analogue pour $- \infty$ .

Limites des fonctions de référence

Propriété

$lim_{x \to + \infty} x^{n} = + \infty$ pour $n \geq 1$ .
$lim_{x \to - \infty} x^{n} = + \infty$ si $n$ pair, $- \infty$ si $n$ impair.
$lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x ^{n}} = 0$ ; $lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = + \infty$ ; $lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = - \infty$ .
$lim_{x \to + \infty} x = + \infty$ ; $lim_{x \to 0^{+}} x = 0$ .

Limites à gauche, à droite

Définition

La limite à gauche de $f$ en $a$ , notée $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ , est la limite de $f (x)$ quand $x$ tend vers $a$ en restant $< a$ . La limite à droite $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ : $x > a$ . $f$ admet une limite en $a$ ssi les limites à gauche et à droite existent et coïncident.

Exemple

$f (x) = \frac{1}{x}$ :

$lim_{x \to 0^{+}} f (x) = + \infty$ .
$lim_{x \to 0^{-}} f (x) = - \infty$ . Donc $lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ n'existe pas.

Opérations sur les limites

Théorème : Somme, produit, quotient

Si $lim f = ℓ$ et $lim g = ℓ^{'}$ (réels) :

$lim (f + g) = ℓ + ℓ^{'}$ ; $lim (f g) = ℓ \times ℓ^{'}$ ;
$lim (\frac{f}{g}) = \frac{ℓ}{ℓ}^{'}$ si $ℓ^{'} \neq = 0$ ;
$lim (k f) = k ℓ$ pour $k \in R$ .

Les règles s'étendent partiellement aux limites infinies, selon des règles de signe et à l'exception des formes indéterminées ci-dessous.

Formes indéterminées

Quatre formes ne permettent pas de conclure immédiatement :

\infty - \infty, 0 \times \infty, \frac{\infty}{\infty}, \frac{0}{0} .

Exemple

$lim_{x \to + \infty} (x^{2} - x) = \infty - \infty$ (forme indéterminée). Méthode : factoriser le terme dominant : $x^{2} - x = x^{2} (1 - \frac{1}{x}) \to + \infty \times 1 = + \infty$ .

Techniques de levée des indéterminations

Factorisation

Souvent, identifier le facteur qui « domine ».

Exemple

$lim_{x \to + \infty} \frac{x ^{2} + 3 x}{2 x ^{2} - 5} =$ F.I. $\frac{\infty}{\infty}$ . Factoriser : $\frac{x ^{2} ( 1 + \frac{3}{x} )}{x ^{2} ( 2 - \frac{5}{x ^{2}} )} = \frac{1 + \frac{3}{x}}{2 - \frac{5}{x ^{2}}}$ $\to \frac{1}{2}$ .

Identité remarquable / quantité conjuguée

Exemple

$lim_{x \to + \infty} (x + 1 - x)$ = F.I. Multiplier par la quantité conjuguée : $(x + 1 - x) \frac{x + 1 + x}{x + 1 + x} = \frac{1}{x + 1 + x} \to 0$ .

Factorisation d'un polynôme par la racine

Exemple

$lim_{x \to 1} \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = \frac{0}{0}$ . Factoriser : $(x - 1) \frac{x + 1}{x - 1} = x + 1 \to 2$ .

Asymptotes

Figure interactive : limite en +∞ et asymptotes

x−1,05f(x) ≈ 0,537

Quand x grandit, f(x) = (2x + 1)/(x − 1) se rapproche de 2 : la droite y = 2 est asymptote horizontale. Près de x = 1, la courbe part vers l’infini le long de l’asymptote verticale x = 1.

Définition

Asymptote horizontale $y = ℓ$ : $lim_{x \to \pm \infty} f (x) = ℓ$ .
Asymptote verticale $x = a$ : $lim_{x \to a} f (x) = \pm \infty$ .
Asymptote oblique $y = a x + b$ : $lim_{x \to \pm \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ .

Détecter une asymptote oblique

Si $\frac{f ( x )}{x} \to a \neq = 0$ et $f (x) - a x \to b$ quand $x \to + \infty$ , alors $y = a x + b$ est asymptote oblique de $C_{f}$ en $+ \infty$ .

Exemple

$f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x}$ . Pour $x \to \pm \infty$ , $\frac{1}{x} \to 0$ . Donc $y = x$ est asymptote oblique.

Documents

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0/10 répondues

1.
$lim_{x \to - \infty} (- 2 x^{3} + x - 7)$ vaut :
2.
$lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x ^{2} + 1}$ vaut :
3.
La limite de $\frac{1}{x}$ quand $x$ tend vers $0$ :
4.
Laquelle de ces formes n'est pas une forme indéterminée ?
5.
$lim_{x \to + \infty} \frac{x ^{2} + 3 x}{2 x ^{2} - 5}$ vaut :
6.
$lim_{x \to 2} \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ vaut :
7.
$lim_{x \to + \infty} (x^{2} + x - x)$ vaut :
8.
$lim_{x \to + \infty} \frac{x ^{2} - 1}{3 x + 2}$ vaut :
9.
La courbe de $f (x) = \frac{2 x ^{2} - 1}{x ^{2} + 3}$ admet en $\pm \infty$ l'asymptote :
10.
Sachant que $\frac{x ^{2} + 2 x - 1}{x - 1} = x + 3 + \frac{2}{x - 1}$ , la courbe de $f (x) = \frac{x ^{2} + 2 x - 1}{x - 1}$ admet en $\pm \infty$ l'asymptote oblique :

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