MATHEMATICS · 1ère Bac Sciences Expérimentales · 1ère Bac

Vecteurs de l'espace

Vecteurs 3D, colinéarité, coplanarité, base de l'espace, coordonnées, produit scalaire 3D.

متجهات الفضاء : متجهات الفضاء، الاستقامية، الاستوائية، أساس الفضاء، الإحداثيات والجداء السلمي في الفضاء.

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Vecteurs de l'espace — rappels et extensions

Dans l'espace à trois dimensions, les vecteurs généralisent ceux du plan : même définition (direction, sens, norme), mêmes opérations (somme, produit par un scalaire, Chasles).

Définition

Un vecteur de l'espace est défini par sa direction, son sens, sa norme. Les opérations usuelles s'appliquent :

A B + B C = A C (Chasles)

(k u) + (k^{'} u) = (k + k^{'}) u, k (u + v) = k u + k v .

Colinéarité et coplanarité

Définition

Deux vecteurs $u, v$ sont colinéaires si $v = k u$ pour un certain $k \in R$ (ou si $u = 0$ ).
Trois vecteurs $u, v, w$ sont coplanaires s'ils peuvent être représentés par trois bipoints d'un même plan. Équivalemment : $w = a u + b v$ pour des réels $a, b$ (si $u, v$ sont non colinéaires).

Base et repère de l'espace

Théorème : Base de l'espace

Trois vecteurs $i, j, k$ non coplanaires forment une base de l'espace. Tout vecteur $u$ s'écrit de manière unique :

u = x i + y j + z k .

$(x, y, z)$ sont les coordonnées de $u$ dans la base.

Un repère $(O, i, j, k)$ permet de donner des coordonnées $(x; y; z)$ à tout point $M$ via $O M = x i + y j + z k$ .

Opérations en coordonnées

Soient $u (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ , $v (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ , et $k \in R$ . Dans une base donnée :

u + v = (x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2}; z_{1} + z_{2}),

k u = (k x_{1}; k y_{1}; k z_{1}) .

Distance dans un repère orthonormé

Théorème

En repère orthonormé, si $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ :

A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2} .

Exemple

$A (1; 0; 2)$ et $B (3; 4; - 1)$ : $A B = 4 + 16 + 9 = 29$ .

Produit scalaire dans l'espace

Définition : Produit scalaire (3D)

Pour $u, v$ dans l'espace :

u \cdot v = ∣∣ u ∣∣ \times ∣∣ v ∣∣ \times cos (u, v) .

En repère orthonormé, avec $u (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ et $v (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ :

u \cdot v = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2} .

Propriété

Les propriétés (symétrie, bilinéarité, $u \cdot u = ∣∣ u ∣ ∣^{2}$ , orthogonalité) s'étendent du plan à l'espace.

Exemple

$u (1; 2; 3)$ , $v (4; - 1; 2)$ : $u \cdot v = 4 - 2 + 6 = 8$ .

Colinéarité / coplanarité par les coordonnées

Propriété

$u$ et $v$ sont colinéaires ssi leurs coordonnées sont proportionnelles.
$u, v, w$ sont coplanaires ssi leur déterminant (vu en détail en SM) s'annule. Pratiquement : rechercher si l'un est combinaison linéaire des deux autres.

Orthogonalité

Deux vecteurs sont orthogonaux ssi leur produit scalaire est nul. Dans l'espace, l'orthogonalité est relative à la direction, pas à l'intersection.

Exemple

$u (1; 0; - 1)$ et $v (1; 2; 1)$ : produit $1 + 0 - 1 = 0$ . Orthogonaux.

Documents

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Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

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0/10 répondues

1.
Soient $A (1; 2; - 1)$ et $B (3; 0; 4)$ . Le vecteur $A B$ a pour coordonnées :
2.
En repère orthonormé, avec $A (1; 2; - 1)$ et $B (3; 0; 4)$ , la distance $A B$ vaut :
3.
Les vecteurs $u (1; 2; 3)$ et $v (- 2; - 4; - 6)$ sont :
4.
Trois vecteurs $i, j, k$ forment une base de l'espace si et seulement s'ils sont :
5.
En repère orthonormé, avec $u (1; 2; 3)$ et $v (4; - 1; 2)$ , le produit scalaire $u \cdot v$ vaut :
6.
Les vecteurs $u (x; 2; - 1)$ et $v (3; x; 2)$ sont orthogonaux pour :
7.
Les vecteurs $u (1; 0; 1)$ , $v (0; 1; 1)$ et $w (1; 1; 0)$ sont :
8.
En repère orthonormé, soient $A (1; 0; 0)$ , $B (0; 1; 0)$ , $C (0; 0; 1)$ . Le triangle $A B C$ est :
9.
Dans un cube $A B C D E F G H$ d'arête $1$ , la grande diagonale $A G$ mesure :
10.
Soient $A (2; 1; 0)$ et $B (0; - 1; 3)$ . Le milieu $M$ de $[A B]$ a pour coordonnées :

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