MATHEMATICS · 1ère Bac Sciences Expérimentales · 1ère Bac

La rotation dans le plan

Définition géométrique et analytique, expression complexe, composition, images de figures.

الدوران في المستوى : التعريف الهندسي والتحليلي للدوران، الصيغة العقدية، تركيب دورانين، صور الأشكال الاعتيادية بدوران.

Quiz de 10 questions en bas de page

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Définition géométrique

Définition : Rotation de centre Ω et d'angle θ

Soient $Ω$ un point et $θ$ un réel (mesure d'angle en radian). La rotation de centre $Ω$ et d'angle $θ$ , notée $R_{Ω, θ}$ , est l'application du plan qui à un point $M$ associe l'unique point $M^{'} = R_{Ω, θ} (M)$ tel que :

$Ω M^{'} = Ω M$ (même distance au centre) ;
l'angle orienté $(Ω M, Ω M^{'}) = θ$ .

Et $R_{Ω, θ} (Ω) = Ω$ (le centre est invariant).

Expression analytique (repère orthonormé)

Théorème

Soit $Ω$ de coordonnées $(a; b)$ et $M (x; y)$ . L'image $M^{'} (x^{'}; y^{'})$ par la rotation $R_{Ω, θ}$ vérifie :

{x^{'} = a + (x - a) cos θ - (y - b) sin θ y^{'} = b + (x - a) sin θ + (y - b) cos θ .

Si $Ω$ est l'origine : $x^{'} = x cos θ - y sin θ$ et $y^{'} = x sin θ + y cos θ$ .

Démonstration

Esquisse. Poser $Ω M = (u; v)$ de norme $ρ = u^{2} + v^{2}$ et d'angle $α$ . L'image $Ω M^{'}$ est de même norme mais d'angle $α + θ$ , soit $(ρ cos (α + θ), ρ sin (α + θ))$ . Développer avec les formules d'addition.

Exemple

Rotation de centre $O$ et angle $\frac{π}{2}$ : $M (x; y) \mapsto M^{'} (- y; x)$ . Rotation d'angle $π$ : symétrie centrale, $(x; y) \mapsto (- x; - y)$ .

Expression complexe

Identifier le plan euclidien à $C$ (le point $M (x; y)$ a pour affixe $z = x + i y$ ).

Théorème

La rotation de centre $Ω$ (d'affixe $ω$ ) et d'angle $θ$ envoie le point d'affixe $z$ sur le point d'affixe $z^{'}$ vérifiant :

z^{'} - ω = e^{i θ} (z - ω) .

Pour $Ω = O$ : $z^{'} = e^{i θ} z$ .

Cette formulation est particulièrement commode pour composer des rotations ou démontrer des propriétés géométriques.

Propriétés

Propriété

La rotation $R_{Ω, θ}$ :

est une isométrie (conserve les distances) ;
conserve les angles (non orientés) et les angles orientés ;
conserve l'alignement, le parallélisme, les milieux, les rapports ;
image d'une droite = droite ; image d'un cercle = cercle de même rayon ;
$R_{Ω, 0} = i d$ ; $R_{Ω, π}$ = symétrie centrale de centre $Ω$ .

Composition

Théorème

$R_{Ω, θ^{'}} \circ R_{Ω, θ} = R_{Ω, θ + θ^{'}}$ . Deux rotations de même centre commutent, et leur composée est une rotation d'angle la somme des angles.

Deux rotations de centres différents se composent en une rotation (si $θ + θ^{'} \neq = 2 k π$ ) ou une translation (si $θ + θ^{'} = 2 k π$ ).

Démonstration

Via l'expression complexe : $z \mapsto e^{i θ} z$ puis $z \mapsto e^{i θ^{'}} z$ donne $z \mapsto e^{i (θ + θ^{'})} z$ .

Images de figures classiques

Propriété

Soit $R = R_{Ω, θ}$ .

Image d'un point : calcul direct (formule analytique).
Image d'un segment $[A B]$ : segment $[R (A) R (B)]$ (même longueur).
Image d'un cercle $C (I, r)$ : cercle $C (R (I), r)$ .
Image d'un triangle : triangle de mêmes longueurs de côtés et mêmes angles (donc isométrique).

Exemple

Rotation de centre $O$ et angle $\frac{π}{3}$ appliquée au triangle équilatéral $A B C$ centré en $O$ : permute cycliquement les sommets selon la direction de rotation.

Documents

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0/10 répondues

1.
Soit $M \neq = Ω$ . Par définition, l'image $M^{'}$ de $M$ par la rotation $R_{Ω, θ}$ vérifie :
2.
L'image de $M (2; 3)$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{π}{2}$ est :
3.
Soit $Ω (1; 0)$ . L'image de $M (3; 2)$ par $R_{Ω, \frac{π}{2}}$ est :
4.
Dans le plan complexe, la rotation de centre $O$ et d'angle $θ$ envoie le point d'affixe $z$ sur le point d'affixe :
5.
Soit la rotation de centre d'affixe $ω = i$ et d'angle $\frac{π}{2}$ . L'image du point d'affixe $z = 1 + i$ a pour affixe :
6.
Soit $θ \neq = 2 k π$ . Les points invariants par $R_{Ω, θ}$ sont :
7.
La rotation $R_{Ω, π}$ est :
8.
La composée $R_{O, \frac{π}{6}} \circ R_{O, \frac{π}{3}}$ est la rotation :
9.
L'image du cercle $(x - 2)^{2} + y^{2} = 9$ par la rotation $R_{O, \frac{π}{2}}$ a pour équation :
10.
La transformation $z \mapsto z^{'} = e^{i \frac{π}{3}} z + 1 - e^{i \frac{π}{3}}$ est une rotation d'angle $\frac{π}{3}$ dont le centre a pour affixe :

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