MATHEMATICS · 1ère Bac Sciences Expérimentales · 1ère Bac

Le produit scalaire dans le plan (approfondi)

Rappels et approfondissement ; applications trigonométriques ; équations de droites et de cercles.

الجداء السلمي في المستوى (تعميق) : تذكير وتعميق للجداء السلمي في المستوى، تطبيقات مثلثية، معادلات المستقيمات والدوائر.

Quiz de 10 questions en bas de page

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Rappels

Le produit scalaire de deux vecteurs $u, v$ d'un plan muni d'un repère orthonormé est le réel :

u \cdot v = ∣∣ u ∣∣ \times ∣∣ v ∣∣ \times cos (u, v) = x x^{'} + y y^{'} .

Vu en Tronc Commun. On l'approfondit ici dans trois directions : identités, applications trigonométriques, et lieux géométriques.

Propriétés algébriques (rappel consolidé)

Propriété

Symétrie : $u \cdot v = v \cdot u$ .
Bilinéarité : $(u + w) \cdot v = u \cdot v + w \cdot v$ , et $(k u) \cdot v = k (u \cdot v)$ .
Carré scalaire : $u \cdot u = ∣∣ u ∣ ∣^{2}$ .
Orthogonalité : $u ⊥ v \Leftrightarrow u \cdot v = 0$ .

Identités de polarisation et applications trigonométriques

Théorème : Identités utiles

Pour tous vecteurs $u, v$ :

$∣∣ u + v ∣ ∣^{2} = ∣∣ u ∣ ∣^{2} + 2 u \cdot v + ∣∣ v ∣ ∣^{2}$ .
$∣∣ u - v ∣ ∣^{2} = ∣∣ u ∣ ∣^{2} - 2 u \cdot v + ∣∣ v ∣ ∣^{2}$ .
$u \cdot v = (\frac{1}{4}) (∣∣ u + v ∣ ∣^{2} - ∣∣ u - v ∣ ∣^{2})$ .

Exemple

Formule d'addition via produit scalaire. Dans le plan orienté, soit $u$ faisant un angle $α$ avec l'horizontale, et $v$ faisant un angle $β$ . En écrivant leurs coordonnées $(cos α, sin α)$ et $(cos β, sin β)$ , le produit scalaire donne $u \cdot v = cos α cos β + sin α sin β$ . Mais aussi $u \cdot v = cos (α - β)$ . D'où la formule :

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β .

Al-Kashi, médiane, Leibniz

Théorème : Al-Kashi (loi des cosinus)

Dans un triangle $A B C$ :

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \times A B \times A C \times cos A^.

Théorème : Médiane

Soit $A B C$ un triangle et $I$ le milieu de $[B C]$ . Alors

A B^{2} + A C^{2} = 2 A I^{2} + \frac{B C ^{2}}{2} .

Théorème : Leibniz (cas n=2)

Soient $A, B$ deux points et $G$ le milieu de $[A B]$ . Pour tout $M$ :

M A^{2} + M B^{2} = 2 M G^{2} + \frac{A B ^{2}}{2} .

Équation cartésienne d'un cercle

Théorème : Cercle par centre et rayon

En repère orthonormé, le cercle de centre $Ω$ de coordonnées $(a; b)$ et de rayon $r > 0$ a pour équation :

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} .

Théorème : Cercle défini par un diamètre

Le cercle de diamètre $[A B]$ est l'ensemble des $M$ tels que $M A \cdot M B = 0$ (Thalès du cercle). En repère orthonormé :

(x - x_{A}) (x - x_{B}) + (y - y_{A}) (y - y_{B}) = 0.

Régions et lieux géométriques

Propriété

L'ensemble des points $M$ du plan tels que :

$M A \cdot M B = k$ (pour $k$ fixé) est un cercle, un point, ou $n o t hin g$ .
$M A^{2} - M B^{2} = k$ est une droite perpendiculaire à $(A B)$ .
$M A = M B$ (équivalent à $M A^{2} - M B^{2} = 0$ ) est la médiatrice de $[A B]$ .

Démonstration

Pour le cas 2 : $M A^{2} - M B^{2} = M A^{2} - M B^{2} = (M A + M B) \cdot (M A - M B) = (M A + M B) \cdot B A$ . Cette expression vaut $k$ : le premier facteur varie linéairement en $M$ , le second est fixe. L'équation est linéaire en $M$ , donc le lieu est une droite (ou un plan si $B A = 0$ , cas exclu).

Forme trigonométrique du produit scalaire

Dans un repère orthonormé, si les vecteurs sont de norme $1$ (vecteurs unitaires) faisant respectivement des angles $α$ et $β$ avec l'axe $(O x)$ :

u \cdot v = cos (α - β) .

Plus généralement, si $∣∣ u ∣∣ = u$ et $∣∣ v ∣∣ = v$ :

u \cdot v = uv cos (α - β) .

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Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

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0/10 répondues

1.
En repère orthonormé, avec $u (3; - 4)$ et $v (2; 1)$ , le produit scalaire $u \cdot v$ vaut :
2.
Si $∣∣ u ∣∣ = 3$ , $∣∣ v ∣∣ = 4$ et l'angle $(u, v)$ vaut $\frac{π}{3}$ , alors $u \cdot v$ vaut :
3.
Deux vecteurs non nuls $u$ et $v$ sont orthogonaux si et seulement si :
4.
Pour tous vecteurs $u, v$ , $∣∣ u + v ∣ ∣^{2}$ est égal à :
5.
Dans un triangle $A B C$ , $A B = 7$ , $A C = 5$ et $A^= 6 0^{\circ}$ . Alors $B C$ vaut :
6.
Dans un triangle $A B C$ , $I$ est le milieu de $[B C]$ , $B C = 8$ , $A I = 5$ et $A B = 7$ . Alors $A C$ vaut :
7.
Le cercle de centre $Ω (3; - 2)$ et de rayon $4$ a pour équation :
8.
L'équation $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 3 = 0$ est celle d'un cercle de :
9.
Le cercle de diamètre $[A B]$ est l'ensemble des points $M$ tels que :
10.
Soient $A$ et $B$ deux points distincts et $k$ un réel. L'ensemble des points $M$ tels que $M A^{2} - M B^{2} = k$ est :

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