2ème Bac Sciences de la Vie et de la Terre

MATHEMATICS · 2ème Bac Sciences de la Vie et de la Terre · 2ème Bac

Suites numériques

Limite d'une suite, limites usuelles, théorèmes de comparaison, convergence monotone, suites récurrentes u(n+1)=f(u(n)) et point fixe, suites arithmético-géométriques, suites adjacentes.

المتتاليات العددية : نهاية متتالية، النهايات الاعتيادية، مبرهنات المقارنة، تقارب المتتاليات الرتيبة، المتتاليات الترجعية والنقطة الثابتة، المتتاليات الحسابية الهندسية والمتتاليات المتجاورة.

Quiz de 10 questions en bas de page

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Rappels de première

Propriété : Suites arithmétiques et géométriques

$(u_{n})$ arithmétique de raison $r$ : $u_{n + 1} = u_{n} + r$ , $u_{n} = u_{0} + n r$ , et $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = (n + 1) \frac{u _{0} + u _{n}}{2}$ .
$(u_{n})$ géométrique de raison $q \neq = 1$ : $u_{n + 1} = q u_{n}$ , $u_{n} = u_{0} q^{n}$ , et $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = u_{0} \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ .

Définition : Monotonie, suites bornées

$(u_{n})$ est croissante si $u_{n + 1} \geq u_{n}$ pour tout $n$ , décroissante si $u_{n + 1} \leq u_{n}$ pour tout $n$ .
$(u_{n})$ est majorée par $M$ si $u_{n} \leq M$ pour tout $n$ , minorée par $m$ si $u_{n} \geq m$ pour tout $n$ , bornée si elle est majorée et minorée.

Propriété : Méthodes pour la monotonie

Étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ .
Si $u_{n} > 0$ , comparer $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à $1$ .
Si $u_{n} = f (n)$ avec $f$ monotone sur $[0, + \infty [$ , $(u_{n})$ a la même monotonie que $f$ .
Pour une suite récurrente, raisonner par récurrence (voir plus loin).

Exemple

$u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 1} = 2 - \frac{1}{n + 1}$ . Comme $\frac{1}{n + 1}$ décroît, $(u_{n})$ est croissante ; et $1 \leq u_{n} < 2$ : elle est bornée.

Limite d'une suite

Figure interactive : limite d’une suite : les termes finissent dans la bande

ε0,3À partir de n = 11, tous les termes vérifient |u_n − 2| < ε

Une suite tend vers L quand, pour n’importe quelle bande de largeur ε autour de L, tous les termes finissent par y rester à partir d’un certain rang. Réduis ε : le rang augmente, mais il existe toujours.

Définition : Suite convergente

$(u_{n})$ converge vers $ℓ \in R$ , noté $lim_{n \to + \infty} u_{n} = ℓ$ , si tout intervalle ouvert contenant $ℓ$ contient tous les termes $u_{n}$ à partir d'un certain rang :

\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, ∣ u_{n} - ℓ ∣ < ε .

Une suite qui ne converge pas diverge.

Définition : Limite infinie

$lim u_{n} = + \infty$ si tout intervalle $] A, + \infty [$ contient tous les termes à partir d'un certain rang : $\forall A > 0, \exists N, \forall n \geq N, u_{n} > A$ . De même pour $- \infty$ .

Propriété

Si une suite converge, sa limite est unique.
Toute suite convergente est bornée. (La réciproque est fausse : $u_{n} = (- 1)^{n}$ est bornée et diverge.)
Une suite croissante non majorée tend vers $+ \infty$ .

Exemple

$u_{n} = \frac{1}{n}$ converge vers $0$ : pour $ε > 0$ , $∣ u_{n} - 0∣ < ε$ dès que $n > \frac{1}{ε}$ . La suite $u_{n} = (- 1)^{n}$ diverge : ses termes valent alternativement $1$ et $- 1$ et ne peuvent s'approcher d'une seule valeur.

Limites usuelles et opérations

Propriété : Limites de référence

$lim \frac{1}{n} = 0$ , $lim \frac{1}{n ^{k}} = 0$ ( $k \geq 1$ ), $lim \frac{1}{n} = 0$ ;
$lim n^{k} = + \infty$ , $lim n = + \infty$ ;
suite géométrique : $lim q^{n} = 0$ si $- 1 < q < 1$ ; $= 1$ si $q = 1$ ; $= + \infty$ si $q > 1$ ; pas de limite si $q \leq - 1$ .

Propriété : Suites de la forme u_n = f(n)

Si $u_{n} = f (n)$ et $lim_{x \to + \infty} f (x) = ℓ$ (fini ou infini), alors $lim u_{n} = ℓ$ . Les techniques de calcul des limites de fonctions (terme dominant, quantité conjuguée, gendarmes) s'appliquent donc aux suites.

Exemple

$u_{n} = \frac{3 n ^{2} - 1}{n ^{2} + n} \to 3$ (termes dominants) ; $v_{n} = n + 1 - n = \frac{1}{n + 1 + n} \to 0$ (conjuguée) ; $w_{n} = 5 (\frac{1}{3})^{n} + 2 \to 2$ ; $t_{n} = 2^{n} - n$ : $2^{n} - n = 2^{n} (1 - \frac{n}{2 ^{n}}) \to + \infty$ .

Théorème : Opérations

Si $lim u_{n} = ℓ$ et $lim v_{n} = ℓ^{'}$ (réels) : $lim (u_{n} + v_{n}) = ℓ + ℓ^{'}$ , $lim (u_{n} v_{n}) = ℓ ℓ^{'}$ , $lim \frac{u _{n}}{v _{n}} = \frac{ℓ}{ℓ}^{'}$ si $ℓ^{'} \neq = 0$ . Avec des limites infinies, les mêmes formes indéterminées qu'en fonctions apparaissent : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$ .

Théorèmes de comparaison

Théorème : Gendarmes et comparaison

À partir d'un certain rang :

si $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ et $lim v_{n} = lim w_{n} = ℓ$ , alors $lim u_{n} = ℓ$ ;
si $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq v_{n}$ et $lim v_{n} = 0$ , alors $lim u_{n} = ℓ$ ;
si $u_{n} \geq v_{n}$ et $lim v_{n} = + \infty$ , alors $lim u_{n} = + \infty$ ;
si $u_{n} \leq w_{n}$ et $lim w_{n} = - \infty$ , alors $lim u_{n} = - \infty$ .

Exemple

$u_{n} = \frac{c o s n}{n}$ : $∣ u_{n} ∣ \leq \frac{1}{n} \to 0$ , donc $lim u_{n} = 0$ . $u_{n} = n + (- 1)^{n}$ : $u_{n} \geq n - 1 \to + \infty$ , donc $lim u_{n} = + \infty$ . $u_{n} = \frac{n + s i n n}{n + 1}$ : $\frac{n - 1}{n + 1} \leq u_{n} \leq 1$ et la borne inférieure tend vers $1$ , donc $lim u_{n} = 1$ .

Exemple

(Inégalité de Bernoulli et limite de $q^{n}$ ) Pour $a > 0$ , $(1 + a)^{n} \geq 1 + na$ (récurrence). Si $q > 1$ , on écrit $q = 1 + a$ : $q^{n} \geq 1 + na \to + \infty$ , donc $lim q^{n} = + \infty$ . Si $0 < q < 1$ , alors $\frac{1}{q} > 1$ et $q^{n} = \frac{1}{( \frac{1}{q} ) ^{n}} \to 0$ .

Convergence monotone

Théorème : Théorème de la convergence monotone

Toute suite croissante et majorée converge.
Toute suite décroissante et minorée converge.
Toute suite croissante non majorée tend vers $+ \infty$ ; toute suite décroissante non minorée tend vers $- \infty$ .

Attention : le théorème donne l'existence de la limite, pas sa valeur. Si $(u_{n})$ est croissante et majorée par $M$ , on sait seulement que $lim u_{n} \leq M$ .

Exemple

$u_{n} = 1 + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \dots + \frac{1}{n ^{2}}$ est croissante (on ajoute un terme positif) et l'on montre que $u_{n} \leq 2 - \frac{1}{n} < 2$ : elle converge (vers $\frac{π ^{2}}{6}$ , mais cela dépasse le programme).

Suites récurrentes du type $u_{n + 1} = f (u_{n})$

Figure interactive : suite récurrente : escalier vers le point fixe

u₀0,3u₀ = 0,3

Pour u(n+1) = √(u(n) + 2) : on part de u₀ sur l’axe, on monte jusqu’à la courbe (on lit u₁), on revient sur la droite y = x pour reporter u₁ sur l’axe, et on recommence. L’escalier converge vers le point fixe, intersection de la courbe et de y = x, ici 2.

C'est le cœur de l'exercice de bac. On considère $u_{0}$ donné et $u_{n + 1} = f (u_{n})$ avec $f$ continue sur un intervalle $I$ .

Propriété : Intervalle stable

Si $f (I) \subset I$ (on dit que $I$ est stable par $f$ ) et si $u_{0} \in I$ , alors $u_{n} \in I$ pour tout $n$ (récurrence immédiate). C'est ainsi que l'on prouve un encadrement du type $0 \leq u_{n} \leq 2$ .

Propriété : Monotonie d'une suite récurrente

Si $f$ est croissante sur $I$ stable, la suite est monotone : croissante si $u_{1} \geq u_{0}$ , décroissante si $u_{1} \leq u_{0}$ (par récurrence : $u_{n} \leq u_{n + 1} \Rightarrow f (u_{n}) \leq f (u_{n + 1})$ ).
Autre méthode : étudier le signe de $f (x) - x$ sur $I$ ; alors $u_{n + 1} - u_{n} = f (u_{n}) - u_{n}$ a le signe de $f (u_{n}) - u_{n}$ .

Théorème : Limite d'une suite récurrente

Si $(u_{n})$ converge vers $ℓ \in I$ et si $f$ est continue en $ℓ$ , alors $f (ℓ) = ℓ$ : la limite est un point fixe de $f$ .

Démonstration

$u_{n + 1} = f (u_{n})$ ; quand $n \to + \infty$ , $u_{n + 1} \to ℓ$ et, par continuité de $f$ en $ℓ$ , $f (u_{n}) \to f (ℓ)$ . Par unicité de la limite, $ℓ = f (ℓ)$ .

Propriété : Plan type de l'exercice

Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ ; conjecturer monotonie et limite.
Montrer par récurrence que $u_{n}$ reste dans un intervalle stable $I$ (encadrement).
Étudier la monotonie (récurrence avec $f$ croissante, ou signe de $f (x) - x$ ).
Conclure à la convergence par le théorème de la convergence monotone.
Déterminer la limite : résoudre $f (ℓ) = ℓ$ dans $I$ .

Exemple

$u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 2$ , avec $f (x) = x + 2$ .

$u_{1} = 2 \approx 1, 41$ , $u_{2} \approx 1, 85$ : on conjecture une suite croissante de limite $2$ .
Encadrement. $[0, 2]$ est stable : si $0 \leq x \leq 2$ , alors $2 \leq x + 2 \leq 4$ et $2 \leq f (x) \leq 2$ . Par récurrence, $0 \leq u_{n} \leq 2$ pour tout $n$ .
Monotonie. $f$ est croissante et $u_{1} \geq u_{0}$ ; par récurrence, si $u_{n} \leq u_{n + 1}$ alors $f (u_{n}) \leq f (u_{n + 1})$ , soit $u_{n + 1} \leq u_{n + 2}$ . La suite est croissante.
Convergence. Croissante et majorée par $2$ , elle converge vers $ℓ \in [0, 2]$ avec $ℓ = ℓ + 2$ , soit $ℓ^{2} - ℓ - 2 = 0$ , d'où $ℓ = 2$ (la racine $- 1$ n'est pas dans $[0, 2]$ ).

Suites arithmético-géométriques

Propriété

Soit $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ avec $a \neq = 1$ . Le point fixe est $ℓ = \frac{b}{1 - a}$ (solution de $ℓ = a ℓ + b$ ). La suite $v_{n} = u_{n} - ℓ$ est géométrique de raison $a$ : $v_{n + 1} = a u_{n} + b - ℓ = a u_{n} + b - (a ℓ + b) = a (u_{n} - ℓ) = a v_{n}$ . Donc $u_{n} = ℓ + (u_{0} - ℓ) a^{n}$ , et si $- 1 < a < 1$ , $lim u_{n} = ℓ$ .

Exemple

$u_{0} = 5$ , $u_{n + 1} = \frac{1}{3} u_{n} + 4$ . Point fixe : $ℓ = \frac{4}{1 - \frac{1}{3}} = 6$ . $v_{n} = u_{n} - 6$ est géométrique de raison $\frac{1}{3}$ et $v_{0} = - 1$ , donc $u_{n} = 6 - (\frac{1}{3})^{n}$ et $lim u_{n} = 6$ . Somme : $\sum_{k = 0}^{n} u_{k} = 6 (n + 1) - \frac{1 - ( \frac{1}{3} ) ^{n + 1}}{1 - \frac{1}{3}} = 6 (n + 1) - \frac{3}{2} (1 - (\frac{1}{3})^{n + 1})$ .

Suites adjacentes

Définition

Deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes si $(u_{n})$ est croissante, $(v_{n})$ est décroissante et $lim (v_{n} - u_{n}) = 0$ .

Théorème

Deux suites adjacentes convergent et ont la même limite $ℓ$ , et pour tout $n$ : $u_{n} \leq ℓ \leq v_{n}$ .

Démonstration

$(v_{n} - u_{n})$ est décroissante (différence d'une décroissante et d'une croissante) et tend vers $0$ , donc $v_{n} - u_{n} \geq 0$ : $u_{n} \leq v_{n}$ . Alors $(u_{n})$ est croissante et majorée par $v_{0}$ , $(v_{n})$ décroissante et minorée par $u_{0}$ : toutes deux convergent, et $lim v_{n} - lim u_{n} = lim (v_{n} - u_{n}) = 0$ .

Exemple

$u_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ et $v_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ ( $n \geq 1$ ) : $(u_{n})$ croît, $(v_{n})$ décroît, $v_{n} - u_{n} = \frac{2}{n} \to 0$ . Elles sont adjacentes et convergent vers $1$ . Les suites adjacentes servent à encadrer une limite inconnue avec une précision $v_{n} - u_{n}$ aussi petite que l'on veut.

Ce qu'il faut retenir

Limite d'une suite : unique ; convergente $\Rightarrow$ bornée.
$lim q^{n} = 0$ si $∣ q ∣ < 1$ , $+ \infty$ si $q > 1$ .
Comparaison : gendarmes, ou $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq v_{n} \to 0$ .
Convergence monotone : croissante + majorée (ou décroissante + minorée) $\Rightarrow$ converge.
Suite récurrente $u_{n + 1} = f (u_{n})$ : intervalle stable (récurrence), monotonie ( $f$ croissante ou signe de $f (x) - x$ ), convergence, puis limite = point fixe $f (ℓ) = ℓ$ .
Arithmético-géométrique $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ : $v_{n} = u_{n} - ℓ$ est géométrique avec $ℓ = \frac{b}{1 - a}$ .
Suites adjacentes : même limite, et $u_{n} \leq ℓ \leq v_{n}$ .

Exercices type bac corrigés

5 exercices dans l'esprit des sujets de bac, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

Monotonie, majoration et limite
Soit $(u_{n})$ la suite définie pour $n \in N$ par $u_{n} = \frac{3 n + 1}{n + 2}$ .
1. Montrer que $u_{n} = 3 - \frac{5}{n + 2}$ et en déduire que $(u_{n})$ est majorée par $3$ .
2. Étudier la monotonie de $(u_{n})$ .
3. Déterminer $lim_{n \to + \infty} u_{n}$ .
Voir la correction
1. $3 - \frac{5}{n + 2} = \frac{3 ( n + 2 ) - 5}{n + 2} = \frac{3 n + 1}{n + 2} = u_{n}$ . Comme $\frac{5}{n + 2} > 0$ , on a $u_{n} < 3$ .
2. $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{5}{n + 2} - \frac{5}{n + 3} = \frac{5}{( n + 2 ) ( n + 3 )} > 0$ : la suite est strictement croissante.
3. $\frac{5}{n + 2} \to 0$ , donc $lim u_{n} = 3$ .
Suite arithmético-géométrique
Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3$ .
1. On pose $v_{n} = u_{n} - 6$ . Montrer que $(v_{n})$ est géométrique.
2. Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ , et calculer $lim u_{n}$ .
3. Calculer $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ .
Voir la correction
1. $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 6 = \frac{1}{2} u_{n} + 3 - 6 = \frac{1}{2} (u_{n} - 6) = \frac{1}{2} v_{n}$ : $(v_{n})$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et de premier terme $v_{0} = - 5$ .
2. $v_{n} = - 5 (\frac{1}{2})^{n}$ , donc $u_{n} = 6 - 5 (\frac{1}{2})^{n}$ . Comme $- 1 < \frac{1}{2} < 1$ , $(\frac{1}{2})^{n} \to 0$ et $lim u_{n} = 6$ .
3. $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (6 + v_{k}) = 6 (n + 1) + v_{0} \frac{1 - ( \frac{1}{2} ) ^{n + 1}}{1 - \frac{1}{2}} = 6 (n + 1) - 10 (1 - (\frac{1}{2})^{n + 1})$ .
Théorème des gendarmes et limites usuelles
Déterminer les limites des suites suivantes :
1. $u_{n} = \frac{n + c o s n}{n + 1}$ ;
2. $v_{n} = \frac{s i n n}{n}$ (pour $n \geq 1$ ) ;
3. $w_{n} = \frac{2 ^{n} + 3 ^{n}}{3 ^{n}}$ .
Voir la correction
1. $- 1 \leq cos n \leq 1$ donne $\frac{n - 1}{n + 1} \leq u_{n} \leq 1$ ; comme $\frac{n - 1}{n + 1} \to 1$ , le théorème des gendarmes donne $lim u_{n} = 1$ .
2. $∣ v_{n} ∣ \leq \frac{1}{n} \to 0$ , donc $lim v_{n} = 0$ .
3. $w_{n} = (\frac{2}{3})^{n} + 1$ et $(\frac{2}{3})^{n} \to 0$ car $0 < \frac{2}{3} < 1$ : $lim w_{n} = 1$ .
Suite récurrente : convergence monotone
Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 6$ .
1. Montrer par récurrence que pour tout $n$ : $0 \leq u_{n} \leq 3$ .
2. Montrer que $(u_{n})$ est croissante.
3. En déduire que $(u_{n})$ converge et déterminer sa limite.
Voir la correction
1. Initialisation : $u_{0} = 0 \in [0, 3]$ . Hérédité : si $0 \leq u_{n} \leq 3$ , alors $6 \leq u_{n} + 6 \leq 9$ , donc $6 \leq u_{n + 1} \leq 3$ , en particulier $0 \leq u_{n + 1} \leq 3$ .
2. Comme $u_{n} \geq 0$ : $u_{n + 1} \geq u_{n} \Leftrightarrow u_{n} + 6 \geq u_{n}^{2} \Leftrightarrow u_{n}^{2} - u_{n} - 6 \leq 0 \Leftrightarrow (u_{n} - 3) (u_{n} + 2) \leq 0$ , vrai car $0 \leq u_{n} \leq 3$ .
3. Croissante et majorée par $3$ , la suite converge vers une limite $L \in [0, 3]$ . La fonction $x \to x + 6$ étant continue, $L = L + 6$ , soit $L^{2} - L - 6 = 0$ , d'où $L = 3$ (la racine $- 2$ est exclue).
Suites adjacentes
Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies par $u_{0} = 1$ , $v_{0} = 2$ et, pour tout $n$ : $u_{n + 1} = \frac{u _{n} + v _{n}}{2}$ et $v_{n + 1} = \frac{u _{n + 1} + v _{n}}{2}$ .
1. Montrer que $v_{n + 1} - u_{n + 1} = \frac{v _{n} - u _{n}}{4}$ et en déduire $v_{n} - u_{n}$ en fonction de $n$ .
2. Montrer que $(u_{n})$ est croissante et $(v_{n})$ décroissante.
3. En déduire que $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes.
4. Montrer que la suite $(u_{n} + 2 v_{n})$ est constante et déterminer la limite commune de $(u_{n})$ et $(v_{n})$ .
Voir la correction
1. $v_{n + 1} - u_{n + 1} = \frac{u _{n + 1} + v _{n}}{2} - u_{n + 1} = \frac{v _{n} - u _{n + 1}}{2} = \frac{v _{n} - \frac{u _{n} + v _{n}}{2}}{2} = \frac{v _{n} - u _{n}}{4}$ . La suite $(v_{n} - u_{n})$ est géométrique de raison $\frac{1}{4}$ : $v_{n} - u_{n} = (\frac{1}{4})^{n} > 0$ .
2. $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{v _{n} - u _{n}}{2} > 0$ et $v_{n + 1} - v_{n} = \frac{u _{n + 1} - v _{n}}{2} = - \frac{v _{n} - u _{n}}{4} < 0$ .
3. $(u_{n})$ croissante, $(v_{n})$ décroissante et $v_{n} - u_{n} = (\frac{1}{4})^{n} \to 0$ : les suites sont adjacentes, donc convergent vers une même limite $L$ .
4. $u_{n + 1} + 2 v_{n + 1} = u_{n + 1} + u_{n + 1} + v_{n} = 2 u_{n + 1} + v_{n} = u_{n} + v_{n} + v_{n} = u_{n} + 2 v_{n}$ : la suite est constante, égale à $u_{0} + 2 v_{0} = 5$ . En passant à la limite, $3 L = 5$ , donc $L = \frac{5}{3}$ .

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Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

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0/10 répondues

1.
La suite définie par $u_{n} = 3 - \frac{1}{n}$ pour $n \geq 1$ est :
2.
Que vaut $lim_{n \to + \infty} (- \frac{1}{2})^{n}$ ?
3.
Laquelle de ces affirmations est vraie ?
4.
Que vaut $lim_{n \to + \infty} \frac{2 ^{n} + 3 ^{n}}{3 ^{n}}$ ?
5.
Que vaut $lim_{n \to + \infty} (2 + \frac{c o s n}{n})$ ?
6.
Soit $(u_{n})$ croissante et majorée par $5$ . Que peut-on affirmer ?
7.
Soit $u_{n + 1} = f (u_{n})$ avec $f$ croissante sur un intervalle stable $I$ contenant $u_{0}$ , et $u_{1} < u_{0}$ . La suite $(u_{n})$ est :
8.
Soit $u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 6$ . On admet que $(u_{n})$ converge vers un réel $ℓ \geq 0$ . Alors $ℓ$ vaut :
9.
Soit $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3$ . Pour quelle valeur de $ℓ$ la suite $v_{n} = u_{n} - ℓ$ est-elle géométrique de raison $\frac{1}{2}$ ?
10.
Deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes lorsque :

Encore 10 questions.

Suites numériques

Le cours

Rappels de première

Limite d'une suite

Limites usuelles et opérations

Théorèmes de comparaison

Convergence monotone

Suites récurrentes du type un+1​=f(un​)

Suites arithmético-géométriques

Suites adjacentes

Ce qu'il faut retenir

Exercices type bac corrigés

01Monotonie, majoration et limite

02Suite arithmético-géométrique

03Théorème des gendarmes et limites usuelles

04Suite récurrente : convergence monotone

05Suites adjacentes

Documents

Teste-toi : 10 questions sur ce chapitre

Suites récurrentes du type $u_{n + 1} = f (u_{n})$

Monotonie, majoration et limite

Suite arithmético-géométrique

Théorème des gendarmes et limites usuelles

Suite récurrente : convergence monotone

Suites adjacentes