Nombres complexes (introduction)

On admet l'existence d'un nombre $i$ vérifiant $i^2=-1$. Un nombre complexe s'écrit $z=a+bi$ avec $a,b\in \mathbb{R}$.

• $a=\mathrm{Re}(z)$ : partie réelle ;
• $b=\mathrm{Im}(z)$ : partie imaginaire. L'ensemble des complexes est noté $\mathbb{C}$.

Le conjugué de $z=a+bi$ est $\overline{z}=a-bi$. Le module de $z$ est $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. On a $z\overline{z}=|z{|}^2$.

1. $\overline{z+z^{\prime }}=\overline{z}+\overline{z^{\prime }}$ ;
2. $\overline{z{z}^{\prime }}=\overline{z}\times \overline{z^{\prime }}$ ;
3. $|z{z}^{\prime }|=|z|\times |z^{\prime }|$ ;
4. $|z+z^{\prime }|\le |z|+|z^{\prime }|$.

$\frac{1}{2+i}=\frac{2-i}{(2+i)(2-i)}=\frac{2-i}{5}=\frac{2}{5}-\frac{i}{5}$.

Le plan complexe identifie $z=a+bi$ au point $M(a,b)$. On dit que $z$ est l'affixe de $M$.

• $|z|$ est la distance $OM$ ;
• $\overline{z}$ correspond à la symétrie par rapport à l'axe des abscisses.

$x^2+x+1=0$ : $\Delta =-3$, solutions $\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$.