Fonctions primitives

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Une fonction $F$ définie sur $I$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F^{\prime }=f$.

Si $f$ est continue sur $I$, alors $f$ admet une primitive sur $I$. Deux primitives diffèrent d'une constante : si $F$ et $G$ sont primitives, il existe $c\in \mathbb{R}$ tel que $G(x)=F(x)+c$.

Soient $F$ primitive de $f$, $G$ primitive de $g$, $k\in \mathbb{R}$.

• $F+G$ est primitive de $f+g$.
• $kF$ est primitive de $kf$.
• Primitive de $u^{\prime }\times u^n$ : $\frac{u^{n+1}}{n+1}$ ($n\ne -1$).
• Primitive de $u^{\prime }/u$ : $\ln |u|$ (si $u\ne 0$).
• Primitive de $u^{\prime }\cos (u)$ : $\sin (u)$ ; de $u^{\prime }\sin (u)$ : $-\cos u$.
• Primitive de $u^{\prime }{e}^u$ : $e^u$.

Primitive de $f(x)=2x(x^2+1{)}^3$ : reconnaître $u^{\prime }{u}^n$ avec $u=x^2+1$, $u^{\prime }=2x$, $n=3$. Primitive : $\frac{(x^2+1{)}^4}{4}+c$.

Soit $f$ continue sur $I$, $x_0\in I$, $y_0\in \mathbb{R}$. Il existe une unique primitive $F$ de $f$ telle que $F(x_0)=y_0$.

Trouver la primitive $F$ de $f(x)=3x^2$ telle que $F(1)=5$. Primitives : $F(x)=x^3+c$. $F(1)=1+c=5$, donc $c=4$. $F(x)=x^3+4$.