Fonctions logarithmiques

Logarithme népérien et décimal, propriétés, dérivée, études de fonctions.

الدوال اللوغاريتمية : الدالة اللوغاريتمية النيبيرية والعشرية، الخاصيات الجبرية، المشتقة، دراسة الدوال اللوغاريتمية.

Le cours

Le cours complet, tel qu'il est dans le PDF : définitions, théorèmes, propriétés, exemples et démonstrations (repliées, clique pour les lire).

Fonction $ln$

Figure interactive : exp et ln, symétriques par rapport à la droite y = x

a0,7(a ; e^a) = (0,7 ; 2,01) sur exp, et (e^a ; a) = (2,01 ; 0,7) sur ln

exp est la réciproque de ln : les courbes sont symétriques par rapport à la droite y = x. Le point (a ; eᵃ) de la courbe de exp a pour symétrique le point (eᵃ ; a) de la courbe de ln.

Définition

$ln$ est la primitive de $\frac{1}{x}$ sur $] 0, + \infty [$ qui vaut $0$ en $1$ . Elle est strictement croissante, avec $ln (e) = 1$ .

Propriété : Propriétés algébriques

Pour $x, y > 0$ et $α \in R$ :

$ln (x y) = ln x + ln y$ ;
$ln (\frac{x}{y}) = ln x - ln y$ ;
$ln (x^{α}) = α ln x$ .

Limites

Figure interactive : croissance comparée : ln x / x tend vers 0

x4,5f(x) ≈ 0,334

ln x grandit beaucoup moins vite que x : le quotient ln x / x tend vers 0 en +∞ (asymptote horizontale y = 0), après un maximum en x = e.

$lim_{x \to 0^{+}} ln x = - \infty$ .
$lim_{x \to + \infty} ln x = + \infty$ .
Croissance comparée : $lim_{x \to + \infty} \frac{l n x}{x} = 0$ ; $lim_{x \to 0^{+}} x ln x = 0$ .
$lim_{x \to 0} \frac{l n ( 1 + x )}{x} = 1$ .

Dérivée

$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ . Plus généralement, $(ln u)^{'} = u^{'} / u$ si $u > 0$ .

Exemple

$f (x) = ln (1 + x^{2})$ : $f^{'} (x) = \frac{2 x}{1 + x ^{2}}$ .

Logarithme décimal

$lo g x = ln \frac{x}{l n} 10$ . Utile pour les échelles logarithmiques (pH, Richter, décibels).

Applications biologiques

En biologie, une population qui croît exponentiellement satisfait $P (t) = P_{0} e^{r t}$ . Pour trouver $t$ tel que $P (t) = k$ , on passe au logarithme : $t = \frac{l n ( \frac{k}{P _{0}} )}{r}$ .

Exemple

Une culture bactérienne double toutes les heures : $P (t) = P_{0} \times 2^{t}$ . Quand la population atteint-elle $1000 P_{0}$ ? $2^{t} = 1000$ , donc $t = ln \frac{1000}{l n} 2 \approx 9, 97$ heures.

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0/10 répondues

1.
La fonction $ln$ est définie comme :
2.
L'expression $ln (2 x - 1)$ est définie si et seulement si :
3.
$ln 8$ est égal à :
4.
$ln (\frac{1}{e ^{2}})$ est égal à :
5.
La solution de l'équation $ln x = 3$ est :
6.
Que vaut $lim_{x \to 0^{+}} ln x$ ?
7.
Que vaut $lim_{x \to + \infty} \frac{l n x}{x}$ ?
8.
La dérivée de $f (x) = ln (3 x + 1)$ (pour $x > - \frac{1}{3}$ ) est :
9.
Le logarithme décimal $lo g 1000$ vaut :
10.
Une population vérifie $P (t) = P_{0} e^{r t}$ avec $r > 0$ . Le temps $t$ au bout duquel $P (t) = 3 P_{0}$ est :

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