Fonctions exponentielles

Fonction exp, propriétés algébriques, dérivée, limites, étude, fonctions puissances.

الدوال الأسية : الدالة الأسية exp، الخاصيات الجبرية، المشتقة، النهايات، دراسة الدالة، الدوال الأسية للأساس a ودوال القوى.

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Fonction exponentielle

Figure interactive : exp et ln, symétriques par rapport à la droite y = x

a0,7(a ; e^a) = (0,7 ; 2,01) sur exp, et (e^a ; a) = (2,01 ; 0,7) sur ln

exp est la réciproque de ln : les courbes sont symétriques par rapport à la droite y = x. Le point (a ; eᵃ) de la courbe de exp a pour symétrique le point (eᵃ ; a) de la courbe de ln.

Définition

La fonction exponentielle, notée $exp$ ou $e^{x}$ , est la fonction réciproque de $ln$ sur $R$ : pour tout $x \in R$ , $y = e^{x} \Leftrightarrow x = ln y$ (avec $y > 0$ ). Elle est définie sur $R$ , à valeurs dans $] 0, + \infty [$ . En particulier $e^{0} = 1$ et $e^{1} = e$ .

Propriétés algébriques

Théorème

Pour tous $x, y \in R$ et $n \in Z$ :

$e^{x} \times e^{y} = e^{x + y}$
$e^{- x} = \frac{1}{e ^{x}}$
$\frac{e ^{x}}{e ^{y}} = e^{x - y}$
$(e^{x})^{n} = e^{n x}$
$ln (e^{x}) = x$ et $e^{l n y} = y$ pour $y > 0$ .

Dérivée et variations

Propriété

$(e^{x})^{'} = e^{x}$ . L'exponentielle est sa propre dérivée.
$exp$ est strictement croissante ; $e^{x} > 0$ pour tout $x$ .
$lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$ ; $lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty$ .
Pour $u$ dérivable : $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ .

Propriété : Croissances comparées

$lim_{x \to + \infty} \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty$ (l'exponentielle l'emporte).
$lim_{x \to - \infty} x^{n} e^{x} = 0$ .
$lim_{x \to 0} \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1$ .

Équations et inéquations

Propriété

$e^{a} = e^{b} \Leftrightarrow a = b$ .
$e^{a} > e^{b} \Leftrightarrow a > b$ .
$e^{a} = k$ (pour $k > 0$ ) équivaut à $a = ln k$ ; pas de solution si $k \leq 0$ .

Exemple

Résoudre $e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 = 0$ . Poser $X = e^{x} > 0$ : $X^{2} - 3 X + 2 = 0$ , racines $X = 1$ ou $X = 2$ . $e^{x} = 1 \Rightarrow x = 0$ . $e^{x} = 2 \Rightarrow x = ln 2$ .

Fonctions puissances

Définition

Pour $a > 0$ et $α \in R$ , on définit $a^{α} = e^{α l n a}$ . Cette définition prolonge celle des puissances entières et permet toutes les règles algébriques habituelles.

Propriété

Fonction $x \mapsto x^{α}$ ( $x > 0$ ) : dérivée $α x^{α - 1}$ .
Fonction $x \mapsto a^{x}$ ( $a > 0$ ) : $a^{x} = e^{x l n a}$ , dérivée $(ln a) a^{x}$ .

Étude type

Exemple

$f (x) = x e^{x}$ sur $R$ .

$D = R$ . $f^{'} (x) = e^{x} (1 + x)$ .
Signe de $f^{'}$ : signe de $1 + x$ , donc $-$ avant $- 1$ , $+$ après.
$lim_{x \to - \infty} x e^{x} = 0$ (croissance comparée, forme $(- \infty) \times 0$ ).
$lim_{x \to + \infty} = + \infty$ .
Minimum $f (- 1) = - e^{- 1} = - \frac{1}{e}$ .
Asymptote horizontale $y = 0$ en $- \infty$ .

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0/10 répondues

1.
Pour $y > 0$ , l'égalité $y = e^{x}$ équivaut à :
2.
L'équation $e^{x} = - 2$ :
3.
$e^{l n 7}$ est égal à :
4.
La dérivée de $f (x) = e^{3 x}$ est :
5.
Que vaut $lim_{x \to - \infty} e^{x}$ ?
6.
Que vaut $lim_{x \to + \infty} \frac{e ^{x}}{x ^{2}}$ ?
7.
Les solutions de $e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0$ sont :
8.
L'inéquation $e^{2 x} > 1$ a pour ensemble de solutions :
9.
La dérivée de $f (x) = 2^{x}$ est :
10.
Soit $f (x) = x e^{x}$ . Sa dérivée est :

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